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数学:物理を学び楽しむために

更新日 2016 年 3 月 18 日

(半永久的に)執筆中の数学の教科書の草稿を公開しています。どうぞご活用ください。著作権等についてはこのページの一番下をご覧ください。

本書を紙媒体で出版する計画が少しずつ進んでいます(出版社は決まりました)。ただし、出版後もネットでの無償公開を続けることになっています。

これは、主として物理学(とそれに関連する分野)を学ぶ方を対象にした、大学レベルの数学の入門的な教科書である。 高校数学の知識を前提にして、大学生が学ぶべき数学をじっくりと解説する。 最終的には、大学で物理を学ぶために必須の基本的な数学すべてを一冊で完全にカバーする教科書をつくることを夢見ているが、その目標が果たして達成されるのかはわからない。 今は、書き上げた範囲をこうやって公開している。
詳しい内容については目次をご覧いただきたいが、現段階では
  ■ 論理、集合、そして関数や収束についての基本(2 章)
  ■ 一変数関数の微分とその応用(3 章)
  ■ 座標、ベクトル、線形代数(6 章、7 章)
  ■ 常微分方程式(5 章、8 章)
  ■ ベクトル解析(9 章)
の各テーマについては、ほぼ完成しており、市販されている(優れた)教科書に匹敵する品質になっていると考えている(一変数関数の積分の 4 章は書きかけ)。 これらの分野について学習する方、また、講義や演習を担当される方は、本書を教科書・参考書として用いることを検討してみていただきたい。(前書きより)
「物理をやりたくて大学に入ったのに、どうしてこんなに数学をやるんだ」という声を、毎年のように大学一年生から聞く。 われわれの答は、決まっている。 「必要だから。」
物理を語るための言語が、物理を学び研究するための基本の技術が、物理を楽しむための基礎体力が、数学なのだ。 凡庸(ぼんよう)なたとえだけれど、数学という基礎技術なしに物理の世界に入りこむのは、登山の技術ゼロで高い山に探検にいくようなこと、あるいは、水泳経験ゼロで大海原に泳ぎ出すようなことである(脚注:たとえ登山技術ゼロでも、実際に山に行って試行錯誤をつづければ、いずれは登山に必要な体力もつくし、登山の方法を独自に編み出せるはずだと反論する人がいるかもしれない。 それは完璧に正しい。 人類は、まさにそうやって試行錯誤しながら物理や数学を発展させてきたのだ --- 猛烈に長い時間をかけて。)。 だから、数学を学ぼう --- 物理を学び、語り、そして、楽しむために。(1章の冒頭より)

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改訂のたびにファイル名は変わります。リンクしていただく場合は、ファイルにではなく、このページにリンクをはってください(最終更新日 2016 年 3 月 18 日)

最近の主要な更新履歴:
例によって新学期直前になって改訂した。

一変数関数の積分についての 4 章をついに書き始めたのが最大のポイントだけれど、この章はまだ最初だけ。 積分の基礎の部分なんて誰が書いても同じだろうと思っていたのだけど、書いてみたら違った。ぼくが目にした教科書や講義ノートの多くは、ダルブーの定理で積分可能性を書き換えたあと上限と下限が等しいことを示すという方針だったけど、ぼくはもっとダイレクトに連続関数を扱うという野蛮な方法を使った。エレガントではないかもしれないが、コーシー列を使った構成的証明というのは汎用性があるので悪くないと思う。(この証明に必要なので 2.4.4 節に一様連続性についての解説と定理を追加した。)さらに、9 章のベクトル場の積分のところを、4 章と整合するように少しだけいじった(しかし不十分だと思う)。

他には大きな変更はないけれど、 1.3.5 節に WolframAlpha のごく簡単な紹介を書いた。 p74 の問 2.3.2a で桁数の多い小数の計算がでてきたので、ついでに紹介しようと思った次第。

あと細かいことだけれど、p 30 の脚注 28 では \(\forall\) と \(\exists\) をなぜ「量化子」と呼ぶかについて、偉そうに蘊蓄が書いてある。 もちろん、こんなことをぼくが知っているわけはない。長年、謎だったのだけれど、かの時枝正さんに教えてもらったというわけ。

他にも無数の細かい修正・改良をした。詳細なレポートを送ってくださった「九州の酔いどれゾンビ」さん他のみなさんに感謝(ついに謝辞に「ペンネーム」が登場した)。

(2016 年 3 月)

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この本の著作権は田崎晴明にある。

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田崎晴明
学習院大学理学部物理学教室
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