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数学：物理を学び楽しむために（更新履歴）

• MB120321.pdf
  恒例となった新学期に向けての修正だが、今回も、積分の章を書くといった大きな改訂はできなかった（積分の章の手書きの下書きどこ行ったんだろ？？）。
  今回の中規模の変更点は、
  • 2.2.4 節：実数のベキ乗の定義をきちんと書いた。この段階で「正の実数の有理数乗」については初等的な議論だけで定義しておく。
  • 3.1.4 節：逆関数の説明、逆関数の導関数のあたりを全面的に書き換え。前のバージョンはたいへん分かりにくいし、実用的でもなかった。新しいバージョンはずっと分かりやすいと期待。
  • 4.3.5 節：最後に振動外力と空気抵抗がある場合の調和振動子の問題を追加。これは、新たな 4.3.6 節への複線でもある。
  • 4.3.6 節：渾身の書き下ろしの新しい節「非線形振動子とカオス」。この本としては異例の、数値計算の結果だけを紹介する「読み物」。 Duffing 方程式の解の様子をみながら、非線形微分方程式のおけるカオスへの入門。 解ける方程式のすぐ近くに、こんな複雑なふるまいを示す方程式があることを知ってほしかった。 前からこの内容は書きたかったのだが、数値計算をする能力がなくて延び延びになっていた。 今回、桂さんから Mathematica の技を教わり、プログラムも教えてもらって、できたのであった。
  といったところ。
  これ以外に、無数とも言えるタイプミスや細かい点の修正。
• MB110825.pdf
  久々の修正。今回はかなりマニアック。哲学的論理学がご専門の矢田部さんに手取り足取り教えていただいて（ただし、教えていただいたことの全てを活かす力はぼくになかった）、論理関係の杜撰だったところを修正。具体的には、公理の一意性についての説明（p5）、命題と文の区別（p16 の脚注 2）、そして、これが「本丸」だけど、命題の真偽が定まらないこと（構成主義やゲーデルの第一不完全性定理）についての p18 の脚注 9 を大幅に書き換え。この本に集中する暇がなく、コメントをいただいてから、ものすごく長い時間が経ってしまい、申し訳ありませんでした。
• MB110406.pdf
  細かい修正。鴨さんに手ほどきしてもらって、背理法についての（かっこいい）脚注を修正。 あと、ルート 2 が無理数であるところを整理。 おっと、「有理数は rational number の誤訳、比数でいい」という定番の注意を書こう書こうと思って忘れていたので書いた。
• MB110401.pdf
  論理のところをさらに手直し。 廣田さんのコメントに従って「必要条件」の説明を変えた。このほうがいい。 背理法について、鴨さんに教えてもらったかっこいいことを書く（脚注 18）。 ついでに、「実用的な背理法」ということで定理 2.2 を書いた。直観的には完全に分かっていて日々利用していることだったが、こういう風に定式化できると初めて認識した。 あと、「ルート 2 が無理数である」証明は背理法にしないほうがすっきりすると認識したので変えた。
• MB110328.pdf
  常連のレビューアーお二人（←とか書くと、結城浩さんっぽい）から論理のところに関して適切なコメントをいただき修正。
  索引の作成は、今日は何の問題もなくできた。大学の iMac で mi を使って idx ファイルを開き、UTF-8に変換して makeindex を走らせ、ind ファイルの文字コードを SJISに。
• MB110327.pdf
  恒例により、茨城大の中川さん（Komatsu-Nakagawa representation の中川さんだよ）が学生さんといっしょに作ってくれた問題をいくつか追加したほか、思いついたところを微修正。おっと、さっそく論理のところのタイポの指摘もあったので修正！
  索引の正しい処理がわかったと思ったけど、どうもダメだ。日本語文字コードの問題でおかしくなる。 どうも TeX が生成する idx ファイルの文字コード設定が EUS だけど中身は SJIS とかいう、おかしなことになっている気がする。しかも小さいファイルでやると問題がおきないのに、このでかい索引を作ろうとすると色々とおかしな事がおこる。とはいえ、ここでこんなところに時間をかけている暇はないので、これ以上は追求しない。
• MB110326.pdf
  けっきょく、ほとんど一年ぶりの改訂になってしまった。 積分の章（下書きがあったはずだが、どこに埋もれたことか・・・）も相変わらず書けない。弱ったなあ。
  時間をかけて作業したのは、2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 節の命題と論理の部分。 構成も全面的に変えたし分量もかなり増えた。 一般的な命題論理の話をする部分と、述語（変数が入っている命題）の部分をすっぱりと分けた。これまでは、（そういう解説が多いのだけど）　何となくいっしょくたに議論して、場合に応じて、述語を念頭に置いたり、一般の命題を念頭に置いたりしていた。 さらに、述語についての「ならば」の文には「任意の変数の値について」が暗黙のうちに省略されているということを明示的に書いたし、必要条件、十分条件という言い方は述語についての命題に限って使うことにした（このあたりは、嘉田勝「論理と集合から始める数学の基礎」（日本評論社）の影響を受けた。もちろん、この本を熟読して理解したというわけではないし、書き写したわけでもない。ぼくの書いた物がおかしければ、ぼくの責任です）。 かなりすっきりしたのではないかと思う。 と言っても、専門外もいいところなので、ちょっと不安はある。
  その他、読者からのメールに助けられて、1 章、2 章で細かい修正を多数。 3 章では関数の微分可能性の定義をちょっと修正（連続的微分可能性と微分可能性をの用語をスタンダードな定義にあわせた）。 あと、文字コードの問題で索引がおかしなことになっていたことに気づいて（苦労して）修正。ようやく（多分）正しいやり方がわかった（UTF-8 に変換してから makeindex を起動）。
• MB100312.pdf
  さっそく増田さんからミスぷりのご指摘をいただき、修正。これも増田さんのリクエストで、p128 に偏微分記号 ∂ の読み方についての脚注を追加。図 8.29 (a) がわかりにくいというご指摘をいただいので、それも修正。
• MB100310.pdf
  恒例となった新学期にむけての全面改訂。 けっきょく新しい章は書けなかった（一変数の積分の章は下書きもあるのだが・・）が、全般にわたって徹底的な加筆・改善・修正をおこなった。 特に今回は、増田さんという方が、全体をまんべんなく読まれて、きわめて多くの詳細で的確で鋭いコメントを送って下さった。それに沿って手を入れた部分が多い。
  主要な修正箇所はだいたい以下のとおり：6.2.3 節で、（2 次元の）直交行列と回転行列の回転について触れた。6.5.4 節の二次形式の標準形の応用のところで、楕円のグラフも描き、解説を詳しくした。7.1.2 節の常微分方程式の解の存在と一意性の証明を徹底的に詳しく書き直した。今までのは、はっきり言って普通の人に読めるものではなかったことを増田さんのご指摘で認識した。かなりちゃんと書いたので、今度こそ、この内容の厳密な解説としては相当に読みやすいものになったと期待。この章では、解の存在と一意性の定理にかかわる部分を、先の方まで加筆した。線積分についての 8.2.3 節を全面的に書き換え、8.2.4 節を追加（通常の座標変数の積分を使うやり方は敢えて書いていなかったのだが、試験やレポートの答案にも散見されることだし、いい加減に書いてある本が多いので、ちゃんと書くことにした）。ローテーションの定義の微妙なところに関する 8.4.4 節に大幅な加筆（三角形の道を使えば、任意の方向を向いた道が扱えることを高麗さんに指摘されたので、その議論を紹介した）。 なんか、まだあった気がするが、とりあえず思い出せるのは、これくらい。 あと、これも恒例だけれど、中川さんが茨城大のゼミで作って下さった演習問題を追加。
• MB090923.pdf
  時間はあいたが微修正。 前回のページランクの記述に関してコメントをいただいたところをようやく修正。 数列の発散についても少し加筆。
• MB090505.pdf
  何故か、この時期になって大幅加筆。 ペロン・フロベニウスの定理と確率行列の素敵な応用問題として、Google の PageRank の解説の節を追加。明らかに異色の一節。 さらに、ずっと懸案だった行列の指数関数の部分も一気に執筆。 線形代数の章だけで 150 ページ以上になってしまったが、これで書くべきことは一通り書いた気がする。
• MB090424.pdf
  新学期に向けて改訂したバージョンをさらに改訂。 新しい章を書く余裕はなかったが、既存の章のなかで、無数の改訂や加筆をした。 初等的な内容としては、ギリシャ文字の表（←これは便利かも）、三角関数とラジアンの解説、消去法による逆行列の計算法、スカラー場の線積分・面積分、面積分のパラメター表示、など。 それ以外に、上級者向けの内容の加筆が多い。 後の章での定理の証明に役立つ多変数連続関数の最大値最小についての定理2.20を（コンパクト性の概念にふみこまず）証明しておいた。 実行列についてのペロン・フロベニウスの定理も物理への応用に見通しのよい形で解説・証明した。 さらに、その応用として、有限状態マルコフ連鎖についてのコンパクトで厳密な解説も。
• MB080313.pdf
  新学期に向けた全面改定。 残念ながら新しい章を執筆する余裕はなかった。 ほとんどが、多くの読者から指摘された（膨大な）ミスの修正や、記述の改善。 とくに論理の部分に手を入れた。 ついでに、前書きを簡略化。
• MB070429.pdf
  極座標でのベクトル解析の節に、さらに8.9.5 節を追加。 基底ベクトルを微分する方法を解説した。角運動量の二乗の計算があまりに楽なので。
• MB070426.pdf
  6章などに細かい修正と加筆。 新たに8.9節を追加。 場の量の微分の極座標表示の導出をした。 量子力学を学ぶ際には必須の素材。
• MB070119.pdf
  主として学生さんに教えられた間違い（証明のミスもあった）の訂正。 6章と7章にきわめて多くの微修正。
• MB061027.pdf
  実に久々の改訂。 講義のときに学生さんからもらったコメントをもとに、さまざまな修正や改良。

  線形代数の章に、6.5.6~節「エルミート行列の固有値と固有ベクトルの性質」を加筆。 同時対角化可能性は量子力学で必須の内容。 ミニマックス原理も量子力学で重要なはずなのだが、なぜか物理の人の間ではあまり知られていないみたいだ。

• MB060602.pdf
  久々の大改訂。 2006年度の講義にあわせて行なってきた修正を一気に公開。

  第 1 章の後半に、和の扱いなどについてのまとまった説明を入れた。 3 章には、みなが苦手だということがわかった、逆関数についてのまとまった解説を足した（しかし、ここは今ひとつだ）。 また微分方程式については、変数分離などの「解法」を 8 章から 4 章に移動。さらに、 4 章では、日常的な「ことば」による説明と微分方程式の対応を考えさせる工夫をした（これは、人に聞いたアイディアなのだが）。また、これまではすべて定積分を使っていたのを、実用と計算の簡単さを考えて不定積分を使った解法を紹介することにした（もちろん、誤魔化しはしないし、定積分のきっちりした議論も残してある）。 理論としては不定積分は嫌いなのだが、やはり便利なので仕方がない。 こうして、4 章は、かなり実用的な微分方程式への入門になったと思う。 講義や自主的な勉強に活用された方からのご意見をいただければうれしい。

  その他、指摘された様々な修正。

• MB060312.pdf
  本当に久々の更新。 かなり集中して時間を使い「行列とベクトル」（６章）を全面的に改定。 最初から複素ベクトルと複素行列をあつかう構成にしたし、ベクトルの線形独立性の判定法など新しい内容も加えた。

  その寸前の「座標とベクトル」（５章）にも色々と手を入れた。 これで、５章、６章は、大学初年級で「座標、ベクトル、行列」をいかに教えるかについての私なりのまとまった提案になったと思う。 こういった講義をされている皆さんにご活用いただき、ご意見を伺えれば大変ありがたい（もちろん、６章の最後の方など、少し息切れしているところはあるし、改良の余地はたくさんあるのだが）。

  その他にも10 章を中心に色々なところに細かい修正を。

• MB051115.pdf
  超久々の更新。 今、火曜日で、来週の木曜日の講義の準備をあらかじめしておくほど忙しいのに、ついでにこっちをやってしまった。

  「行列とベクトル」（6 章）は一応完成だが、不満があるので、そのうち大幅になおす。 ７章は欠番。 ８章も大幅に改訂したものを公開。

• MB050822.pdf
  久々の更新。

  「行列とベクトル」（6 章）のディターミナントの節までを公開。 この章は未完。

  前半の章に、多くの細かい修正や追加をほどこす。 とくに、\ref{c:set}~章に連続関数の性質の部分を書き加える。 これらは、すべて、講義を聴いてくださった学生さんや、公開版を読んでくださった皆さんからのコメントにもとづいたものです。 ありがとうございました。

  未完なのだが、つい索引をつける。

• MB050601.pdf
  ５ 章「座標とベクトル」を一通り完成させて公開。
• MB050515.pdf
  4 章「微分方程式入門」を一通り完成させて公開。 ３章などの小さな誤りを修正。 前半のページが100を越えてしまったので、８ 章と10 章のページ番号を100ずつシフト。内容は変わりません。
• MB050503.pdf
  「関数と微分」に三角関数、テイラー展開、偏微分の節を書き足す。 この章は（あまり完成度は高くないが）一通り完成。
• MB050425b.pdf
  微修正。ベクトル解析の章のページの偶奇が狂っていたのを修正。
• MB050423.pdf
  一年生前期の内容である、「はじめに」、「集合、数、関数」、「関数と微分（ただし、まだ途中まで）」、とちゅうをとばして、一年生後期の内容である「常微分方程式の解法と理論」、「場の量の微分と積分」を公開。

いろいろ

４章「微分方程式入門」を公開。 ようやく講義ノートらしく、講義とほぼ連動して執筆。とはいえ、講義でぼくがやったのは、このごく一部なのだが。 公式や（変数分離などの）技法だけを覚えていると、そもそも微分方程式とは何か、解とは何か、というあたりが欠落してしまうのではないかという考えにもとづいて、ひたすら解を推測して確認するという立場で通した。 大学初年度の微分方程式の教育は、こういう路線がいいのではないか、という提案でもある（というと、変なことをやっているようですが、いたって平凡でゆったりとした「微分方程式入門」のつもりです）。

5月3日 2005 年

今のところ、もっとも価値があるのは 10 章のベクトル解析のところだと思う。

とくに変わった話題はないけれど、ごまかさずに筋をきちんと通すために、ふつうの本には書いていないような内容もきちんとカバーしてある。 また、10.8.5 節のベクトルポテンシャルの議論は、すでにベクトル解析や電磁気学を学んだ人にもおもしろいかもしれない。 ふつうの本は、スカラーポテンシャルは線積分をつかって構成しているのに、ベクトルポテンシャルになったとたんに腰が引けて天下りにポテンシャルを定義している。 ここでは、面積分、線積分の考えから、自然にベクトルポテンシャルが定義できることを解説している。 また、最後の「ベクトルポテンシャルの物理的意味」も（実は学期末で力尽きて計算の詳細は問題にしてしまったのだけれど）有益かも（前野さんのベクトルポテンシャルとは何ぞや？（その１）とあわせて読むと、なおよい）。