日本の企業の年間の総収益の分布。 べきが1のべき分布がきれいに見えている。 （東工大・高安研究室提供。 "Misako Takayasu and Hideki Takayasu" To appear in Encyclopedia of Complexity and Systems Science,S.Havlin(Eds.), Springer Fractals and Economics. こちらの 87 番の文献）
以下では、b=1 に固定。初期値は v = 1, phi = 0
a=0.3 カオスではない。速度はゆるやかに準周期的に変調される。
a=0.39 カオス領域に近いが、まったくカオスではない。位相がいくつかの領域の限られている。
a=0.404 あっという間にカオス。調子に乗って 500000 点プロットしたら真っ黒だ。
横軸が写像をくり返した回数（世代）
もう少し長いあいだにわたって観察すると、はっきりと四周期になっている。
ちなみに、時系列は、0.1, 0.36, 0.9216, 0.289014, 0.821939, 0.585421, 0.970813, 0.113339,
0.401974, 0.961563, 0.147837, 0.503924, 0.999938, 0.000246305, 0.000984976,
0.00393603, 0.0156821, 0.0617448, 0.23173, 0.712124, 0.820014, 0.590364,
0.967337, 0.126384, 0.441645, 0.986379, 0.053742, 0.203415, 0.64815,
0.912207, 0.320342, 0.870893, 0.449754, 0.989902, 0.039986, 0.153548,
0.519885, 0.998418, 0.00631654, 0.0251066, 0.0979049, 0.353278, 0.913891,
0.314778, 0.862771, 0.473588, 0.99721, 0.0111304, 0.0440261, 0.168351,
0.560037, 0.985582, 0.0568391, 0.214434, 0.673808, 0.879163, 0.42494,
0.977464, 0.0881121, 0.321393, 0.872399, 0.445277, 0.988022, 0.0473394,
0.180394, 0.591407, 0.966579, 0.129216, 0.450078, 0.990031, 0.039478,
0.151678, 0.514687, 0.999137, 0.00344848, 0.0137463, 0.0542295, 0.205155,
0.652265, 0.907262, 0.336551, 0.893138, 0.38177, 0.944087, 0.211148,
0.666258, 0.889433, 0.393367, 0.954517, 0.173656, 0.573999, 0.978096,
0.0856952, 0.313406, 0.860731, 0.479493, 0.998318, 0.00671752, 0.0266896,
0.103909, 0.372447, 0.934921, 0.243373, 0.736571, 0.776136, 0.694995,
0.847908, 0.515839, 0.998996, 0.00401006, 0.0159759, 0.0628827, 0.235714,
0.720611, 0.805322, 0.627113, 0.935369, 0.241815, 0.733361, 0.78217, 0.681521
U-tube chaos
横軸に下を通過するときの速さ v、縦軸にそのときの外力の位相 phi（を 2 pi で割ったもの）を次々とプロットした。
ロジスティック写像力学系の時系列のグラフ
初期値はつねに 0.1 とする。
λ = 1.2 のとき
安定人口に落ち着くケース
λ = 3.2 のとき
少しすると、二周期解に落ち着く
λ = 3.5 のとき
次第に四周期解に落ち着くように見える
λ = 4 のとき
カオス全開。
分岐ダイアグラム
これは、ウィキペディアの図をお借りしたもの。ぼくには作れない。
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田崎晴明
学習院大学理学部物理学教室
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