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数学:物理を学び楽しむために

更新日 2010 年 3 月 16 日

(半永久的に)執筆中の数学の教科書の草稿を公開しています。どうぞご活用ください。著作権等についてはこのページの一番下をご覧ください。

本書は、たとえ紙媒体で出版することになっても、ネット上で無償公開し続けようと考えています。

これは、主として物理学(とそれに関連する分野)を学ぶ方を対象にした、大学レベルの数学の入門的な教科書である。 高校数学の知識を前提にして、大学生が学ぶべき数学をじっくりと解説する。 最終的には、大学で物理を学ぶために必須の基本的な数学すべてを一冊で完全にカバーする教科書をつくることを夢見ているが、その目標が果たして達成されるのかはわからない。 今は、書き上げた範囲をこうやって公開している。
詳しい内容については目次をご覧いただきたいが、現段階では
  ■ 関数や収束についての基本(2 章)
  ■ 一変数関数の微分とその応用(3 章)
  ■ 座標、ベクトル、線形代数(5 章、6 章)
  ■ 常微分方程式(4 章、7 章)
  ■ ベクトル解析(8 章)
の各テーマについては、ほぼ完成しており、市販されている(優れた)教科書に匹敵する品質になっていると考えている。 これらの分野について学習する方、また、講義や演習を担当される方は、本書を教科書・参考書として用いることを検討してみていただきたい。(前書きより)
「物理をやりたくて大学に入ったのに、どうしてこんなに数学をやるんだ」という声を、毎年のように大学一年生から聞く。 われわれの答は、決まっている。 「必要だから。」
物理を語るための言語が、物理を学び研究するための基本の技術が、物理を楽しむための基礎体力が、数学なのだ。 凡庸(ぼんよう)なたとえだけれど、数学という基礎技術なしに物理の世界に入りこむのは、登山の技術ゼロで高い山に探検にいくようなこと、あるいは、水泳経験ゼロで大海原に泳ぎ出すようなことである(脚注:たとえ登山技術ゼロでも、実際に山に行って試行錯誤をつづければ、いずれは登山に必要な体力もつくし、登山の方法を独自に編み出せるはずだと反論する人がいるかもしれない。 それは完璧に正しい。 人類は、まさにそうやって試行錯誤しながら物理や数学を発展させてきたのだ --- 猛烈に長い時間をかけて。)。 だから、数学を学ぼう --- 物理を学び、語り、そして、楽しむために。(1章の冒頭より)

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改訂のたびにファイル名は変わります。リンクしていただく場合は、ファイルにではなく、このページにリンクをはってください(最終更新日 2010 年 3 月 16 日)

最近の主要な更新履歴:
恒例となった新学期にむけての全面改訂。 けっきょく新しい章は書けなかった(一変数の積分の章は下書きもあるのだが・・)が、全般にわたって徹底的な加筆・改善・修正をおこなった。 特に今回は、増田さんという方が、全体をまんべんなく読まれて、きわめて多くの詳細で的確で鋭いコメントを送って下さった。それに沿って手を入れた部分が多い。

主要な修正箇所はだいたい以下のとおり:6.2.3 節で、(2 次元の)直交行列と回転行列の回転について触れた。6.5.4 節の二次形式の標準形の応用のところで、楕円のグラフも描き、解説を詳しくした。7.1.2 節の常微分方程式の解の存在と一意性の証明を徹底的に詳しく書き直した。今までのは、はっきり言って普通の人に読めるものではなかったことを増田さんのご指摘で認識した。かなりちゃんと書いたので、今度こそ、この内容の厳密な解説としては相当に読みやすいものになったと期待。この章では、解の存在と一意性の定理にかかわる部分を、先の方まで加筆した。線積分についての 8.2.3 節を全面的に書き換え、8.2.4 節を追加(通常の座標変数の積分を使うやり方は敢えて書いていなかったのだが、試験やレポートの答案にも散見されることだし、いい加減に書いてある本が多いので、ちゃんと書くことにした)。ローテーションの定義の微妙なところに関する 8.4.4 節に大幅な加筆(三角形の道を使えば、任意の方向を向いた道が扱えることを高麗さんに指摘されたので、その議論を紹介した)。 なんか、まだあった気がするが、とりあえず思い出せるのは、これくらい。 あと、これも恒例だけれど、中川さんが茨城大のゼミで作って下さった演習問題を追加。

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この本の著作権は田崎晴明にある。

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田崎晴明
学習院大学理学部物理学教室
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