数学：物理を学び楽しむために

ファイルのダウンロード

（最終更新日 2009 年 9 月 23 日）

内容や位置づけについては、ファイルの冒頭の「はじめに」をご覧下さい。

ファイルのダウンロード、印刷、複製、大量の印刷は自由におこなってよい。 もちろん、講義や勉強会などで配布して利用していただくのも大歓迎である。 ただ、そうして作ったものを販売してはいけない。 また、（つねに最新版を配布したいので）ファイルのネット上での再配布も禁止する。

更新履歴

• MB090923.pdf 時間はあいたが微修正。 前回のページランクの記述に関してコメントをいただいたところをようやく修正。 数列の発散についても少し加筆。
• MB090505.pdf 何故か、この時期になって大幅加筆。 ペロン・フロベニウスの定理と確率行列の素敵な応用問題として、Google の PageRank の解説の節を追加。明らかに異色の一節。 さらに、ずっと懸案だった行列の指数関数の部分も一気に執筆。 線形代数の章だけで 150 ページ以上になってしまったが、これで書くべきことは一通り書いた気がする。
• MB090424.pdf 新学期に向けて改訂したバージョンをさらに改訂。 新しい章を書く余裕はなかったが、既存の章のなかで、無数の改訂や加筆をした。 初等的な内容としては、ギリシャ文字の表（←これは便利かも）、三角関数とラジアンの解説、消去法による逆行列の計算法、スカラー場の線積分・面積分、面積分のパラメター表示、など。 それ以外に、上級者向けの内容の加筆が多い。 後の章での定理の証明に役立つ多変数連続関数の最大値最小についての定理2.20を（コンパクト性の概念にふみこまず）証明しておいた。 実行列についてのペロン・フロベニウスの定理も物理への応用に見通しのよい形で解説・証明した。 さらに、その応用として、有限状態マルコフ連鎖についてのコンパクトで厳密な解説も。
• MB080313.pdf 新学期に向けた全面改定。 残念ながら新しい章を執筆する余裕はなかった。 ほとんどが、多くの読者から指摘された（膨大な）ミスの修正や、記述の改善。 とくに論理の部分に手を入れた。 ついでに、前書きを簡略化。
• MB070429.pdf 極座標でのベクトル解析の節に、さらに8.9.5 節を追加。 基底ベクトルを微分する方法を解説した。角運動量の二乗の計算があまりに楽なので。
• MB070426.pdf
  6章などに細かい修正と加筆。 新たに8.9節を追加。 場の量の微分の極座標表示の導出をした。 量子力学を学ぶ際には必須の素材。
• MB070119.pdf
  主として学生さんに教えられた間違い（証明のミスもあった）の訂正。 6章と7章にきわめて多くの微修正。
• MB061027.pdf
  実に久々の改訂。 講義のときに学生さんからもらったコメントをもとに、さまざまな修正や改良。

  線形代数の章に、6.5.6~節「エルミート行列の固有値と固有ベクトルの性質」を加筆。 同時対角化可能性は量子力学で必須の内容。 ミニマックス原理も量子力学で重要なはずなのだが、なぜか物理の人の間ではあまり知られていないみたいだ。

• MB060602.pdf
  久々の大改訂。 2006年度の講義にあわせて行なってきた修正を一気に公開。

  第 1 章の後半に、和の扱いなどについてのまとまった説明を入れた。 3 章には、みなが苦手だということがわかった、逆関数についてのまとまった解説を足した（しかし、ここは今ひとつだ）。 また微分方程式については、変数分離などの「解法」を 8 章から 4 章に移動。さらに、 4 章では、日常的な「ことば」による説明と微分方程式の対応を考えさせる工夫をした（これは、人に聞いたアイディアなのだが）。また、これまではすべて定積分を使っていたのを、実用と計算の簡単さを考えて不定積分を使った解法を紹介することにした（もちろん、誤魔化しはしないし、定積分のきっちりした議論も残してある）。 理論としては不定積分は嫌いなのだが、やはり便利なので仕方がない。 こうして、4 章は、かなり実用的な微分方程式への入門になったと思う。 講義や自主的な勉強に活用された方からのご意見をいただければうれしい。

  その他、指摘された様々な修正。

• MB060312.pdf
  本当に久々の更新。 かなり集中して時間を使い「行列とベクトル」（６章）を全面的に改定。 最初から複素ベクトルと複素行列をあつかう構成にしたし、ベクトルの線形独立性の判定法など新しい内容も加えた。

  その寸前の「座標とベクトル」（５章）にも色々と手を入れた。 これで、５章、６章は、大学初年級で「座標、ベクトル、行列」をいかに教えるかについての私なりのまとまった提案になったと思う。 こういった講義をされている皆さんにご活用いただき、ご意見を伺えれば大変ありがたい（もちろん、６章の最後の方など、少し息切れしているところはあるし、改良の余地はたくさんあるのだが）。

  その他にも10 章を中心に色々なところに細かい修正を。

• MB051115.pdf
  超久々の更新。 今、火曜日で、来週の木曜日の講義の準備をあらかじめしておくほど忙しいのに、ついでにこっちをやってしまった。

  「行列とベクトル」（6 章）は一応完成だが、不満があるので、そのうち大幅になおす。 ７章は欠番。 ８章も大幅に改訂したものを公開。

• MB050822.pdf
  久々の更新。

  「行列とベクトル」（6 章）のディターミナントの節までを公開。 この章は未完。

  前半の章に、多くの細かい修正や追加をほどこす。 とくに、\ref{c:set}~章に連続関数の性質の部分を書き加える。 これらは、すべて、講義を聴いてくださった学生さんや、公開版を読んでくださった皆さんからのコメントにもとづいたものです。 ありがとうございました。

  未完なのだが、つい索引をつける。

• MB050601.pdf
  ５ 章「座標とベクトル」を一通り完成させて公開。
• MB050515.pdf
  4 章「微分方程式入門」を一通り完成させて公開。 ３章などの小さな誤りを修正。 前半のページが100を越えてしまったので、８ 章と10 章のページ番号を100ずつシフト。内容は変わりません。
• MB050503.pdf
  「関数と微分」に三角関数、テイラー展開、偏微分の節を書き足す。 この章は（あまり完成度は高くないが）一通り完成。
• MB050425b.pdf
  微修正。ベクトル解析の章のページの偶奇が狂っていたのを修正。
• MB050423.pdf
  一年生前期の内容である、「はじめに」、「集合、数、関数」、「関数と微分（ただし、まだ途中まで）」、とちゅうをとばして、一年生後期の内容である「常微分方程式の解法と理論」、「場の量の微分と積分」を公開。

いろいろ

４章「微分方程式入門」を公開。 ようやく講義ノートらしく、講義とほぼ連動して執筆。とはいえ、講義でぼくがやったのは、このごく一部なのだが。 公式や（変数分離などの）技法だけを覚えていると、そもそも微分方程式とは何か、解とは何か、というあたりが欠落してしまうのではないかという考えにもとづいて、ひたすら解を推測して確認するという立場で通した。 大学初年度の微分方程式の教育は、こういう路線がいいのではないか、という提案でもある（というと、変なことをやっているようですが、いたって平凡でゆったりとした「微分方程式入門」のつもりです）。

5月3日 2005 年

今のところ、もっとも価値があるのは 10 章のベクトル解析のところだと思う。

とくに変わった話題はないけれど、ごまかさずに筋をきちんと通すために、ふつうの本には書いていないような内容もきちんとカバーしてある。 また、10.8.5 節のベクトルポテンシャルの議論は、すでにベクトル解析や電磁気学を学んだ人にもおもしろいかもしれない。 ふつうの本は、スカラーポテンシャルは線積分をつかって構成しているのに、ベクトルポテンシャルになったとたんに腰が引けて天下りにポテンシャルを定義している。 ここでは、面積分、線積分の考えから、自然にベクトルポテンシャルが定義できることを解説している。 また、最後の「ベクトルポテンシャルの物理的意味」も（実は学期末で力尽きて計算の詳細は問題にしてしまったのだけれど）有益かも（前野さんのベクトルポテンシャルとは何ぞや？（その１）とあわせて読むと、なおよい）。